PRIMER ETAPA: LA TECNOLOGIA Y LAS MATEMATICAS

 REALIZADO POR: BRYAN NOGUEZ VALLEJO           GRUPO:101

Para comprender el significado de la matemática hay que conocer su desarrollo histórico el cual muestra que los conocimientos matemáticos, surgidos de las necesidades prácticas del hombre mediante un largo proceso de abstracción, tienen un gran valor para la vida.

La matemática es una de las ciencias más antiguas. Sus conocimientos fueron adquiridos por el hombre ya en las primeras etapas del desarrollo bajo la influencia, incluso de la más imperfecta actividad productiva. A medida que se iba complicando esta actividad cambió y creció el conjunto de factores que influían en su desarrollo.

Desde los tiempos del surgimiento de las matemáticas como una ciencia particular con su objeto propio, la mayor influencia en la formación de nuevos conceptos y métodos propios la ejercieron las ciencias naturales exactas.

Por ciencias naturales exactas se entiende el complejo de ciencias sobre la naturaleza, para las cuales en una etapa dada de su desarrollo resulta posible la aplicación de sus métodos. En el progreso de la matemática, antes que otras ciencias, influyeron la astronomía, la mecánica y la física.

La aparición de las teorías matemáticas ocurre como resultado de la búsqueda de solución a problemas prácticos y de la elaboración de nuevos métodos para su resolución. La cuestión de la aplicabilidad a la práctica de una u otra teoría matemática no siempre obtiene inmediatamente solución satisfactoria. Antes de su solución transcurren con frecuencia años y decenios. En calidad de ejemplos se  toma la teoría de los grupos.

A su vez, la práctica y en particular la técnica, penetra en las matemáticas como insustituible medio auxiliar de investigación científica que cambia en mucho su faz. Los dispositivos electrónicos de cálculo abrieron posibilidades ilimitadas para ampliar la clase de problemas solubles con los medios de las matemáticas y cambiaron la correlación entre los métodos para encontrar su solución exacta y aproximada. Sin embargo, por grande que sea el papel desempeñado por la técnica de cálculo, permanece invariable su carácter auxiliar. Ninguna, incluso la más perfecta máquina computadora puede adquirir todas las propiedades de la materia pensante, el cerebro humano y sustituirlo esencialmente.

1.    Los períodos más importantes en la historia de la matemática

En la historia de la ciencia pueden distinguirse períodos aislados, diferenciados uno del otro por una serie de particularidades características. Existen muchos intentos de periodización de la historia de las matemáticas. La periodización se efectúa por países, por formaciones socioeconómicas, por descubrimientos relevantes, los cuales determinaron hasta cierto punto el carácter de su desarrollo. Las discusiones sobre las periodizaciones son interminables, sin embargo, el papel de las periodizaciones es puramente auxiliar y se determina por las necesidades del objetivo fundamental: el descubrimiento de las leyes de su desarrollo. Kolmogórov diferencia los siguientes períodos:

a)    Nacimiento de las matemáticas: se prolonga hasta los siglos VI-V antes de nuestra era, hasta el momento cuando las matemáticas se convirtieron en una ciencia independiente que tiene un objeto y métodos propios. El comienzo del período se pierde en la profundidad de la historia de la civilización primitiva. Es característica para ese período la acumulación del material efectivo de las matemáticas en los límites de una ciencia general indivisible.

b)    El período de las matemáticas elementales: se prolonga desde los siglos VI-V antes de nuestra era hasta el siglo XVI de nuestra era inclusive. En este período fueron obtenidos logros en el estudio de las magnitudes constantes. Una cierta representación sobre estos logros la pueden dar las matemáticas que se estudian actualmente en la escuela media. Este período culmina cuando los procesos y los movimientos se hacen objeto principal de los problemas matemáticos y comienza a desarrollarse la geometría analítica y el análisis infinitesimal. El concepto matemático elemental es discutible y en el presente no existe una definición universal reconocida, sin embargo, la separación en el tiempo de tal período está completamente justificada.

c)    Período de formación de las matemáticas de magnitudes variables: el comienzo está representado por la introducción de las magnitudes variables en la geometría analítica de Descartes y la creación del cálculo diferencial e integral en los trabajos de I. Newton y G.V. Leibniz. El final se sitúa a mediados del siglo XIX cuando en las matemáticas ocurrieron los cambios que la llevaron a su estado actual. En el transcurso de este período impetuoso y rico en acontecimientos se formaron casi todas las disciplinas científicas conocidas actualmente como los fundamentos clásicos de las matemáticas contemporáneas.

d)    Período de las matemáticas contemporáneas: es evidente que el concepto de contemporaneidad en las matemáticas constantemente se desplaza. Es probable que entre el período de la creación de las matemáticas de magnitudes variables y la actualidad ya se pueda señalar un nuevo período, o períodos. En los trabajos histórico–matemáticos esto aún no se ha hecho, aunque la necesidad ya es imperiosa. En los siglos XIX y XX el volumen de las formas espaciales y relaciones cuantitativas, abarcadas por los métodos de las matemáticas han aumentado desmesuradamente. Han aparecido muchas nuevas teorías matemáticas, han aumentado en forma nunca vista las aplicaciones.

La aplicación de la matemática juega un papel importante en la planificación de la economía, dirección de la producción, diagnóstico y tratamiento de enfermedades,  estudio de rendimiento de atletas, invadiendo así todos los campos del saber de la humanidad. Un ejemplo de lo antes expuesto es lo relacionado con la programación lineal.

2. El modelo de programación lineal. Supuestos teóricos. Caso típico

Ya en los siglos XVII y XVIII Newton, Leibniz, Lagrange y Bernoulli trabajaban en problemas óptimos condicionados que desarrollaron el cálculo infinitesimal y el cálculo de las variaciones. Algunos estudiosos plantean que en principio era posible aplicar los métodos generales de optimización, en la teoría de los multiplicadores de Lagrange, por ejemplo en los problemas de programación matemática.

En 1947, según cita Cortés (2007), Dantzig formula, en términos matemáticos muy precisos, el enunciado estándar al que cabe reducir todo problema de programación lineal. Dantzig, junto con una serie de investigadores del United States Departament of Air Force, forman el grupo que dio en denominarse SCOOP (Scientific Computation of Optimum Programs).

El mismo autor (2007) afirma que los fundamentos matemáticos de la programación lineal se deben al matemático norteamericano de origen húngaro Janos von Neuman (1903-1957), quien en 1928 publicó su trabajo Teoría de Juegos. La influencia de este respetado matemático, discípulo de David Hilbert en Gotinga y, desde 1930, catedrático de la Universidad de Princenton de Estados Unidos, hace que otros investigadores se interesaran paulatinamente por el desarrollo de esta disciplina.

No fue hasta el año 1858 que se aplican los métodos de la programación lineal a un problema concreto: el cálculo del plan óptimo de transporte de arena de construcción a las obras de edificación de la ciudad de Moscú. En este problema había 10 puntos de partida y 230 de llegada. El plan óptimo de transporte, calculado con el ordenador Strena en 10 días del mes de junio, rebajó un 11% los gastos respecto a los costos previstos (Córtes, 2007).

Se ha estimado, de una manera general, que si un país subdesarrollado utilizase los métodos de la programación lineal, su producto interior bruto (PIB) aumentaría entre un 10 y un 15% en tan solo un año.

2.1      Formulación del problema de programación lineal

La programación lineal concierne a la solución de un tipo de problema especial, en el cual todas las relaciones entre las variables son lineales o en la función a ser optimizada. El problema general de la programación lineal (P.L.) puede ser descrito como sigue.

Dado un conjunto de m inecuaciones lineales o ecuaciones con n variables, se desea encontrar valores no-negativos de esas variables los cuales satisfagan el conjunto de restricciones y maximicen o minimicen una función lineal de las variables.

Puede ser expresado matemáticamente:

Sean            x_i >= 0                  i=1, n (variables no negativas)                         (1)

Sujeto a:

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ +  ..........+ a_1n x_n   {< = >}       b₁

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ +  ..........+ a_2n x_n   {< = >}                b₂

..............................................................................                                   (2)

a_m1 x₁ + a_m2 x₂ + ........+ a_mn x_n    {< = >}       b_m

que maximizan o minimizan la función objetivo

máx

o        Z  = C₁  X₁  +  C ₂  X₂  + ....... + C_n X_n                                          (3)

min

Notaciones:  

(1):    restricciones de no negatividad

(2):    sistema de restricciones

(3):    función objetivo

x_i:      variable y (incógnitas del sistema)

a_ij:      coeficientes tecnológicos (normas) de la restricción i-ésima y la variable j-ésima

c_j:_.         coeficiente de la función objetivo o costos de x_i.

b_j:          coeficientes o términos independientes.

{<=>}:        signos de las restricciones que en cada caso debe ser <=,>= ó =.

Se llama solución del problema de P.L. al conjunto de valores que tomen las variables xi de forma tal que se satisfaga el conjunto (2) o sistema de restricciones, es decir, que se satisfagan todas las inecuaciones del sistema.

Se llama solución factible del problema de P.L. que cumpla que todas sus variables son positivas. Es decir, una solución factible es cuando el conjunto de valores de las variables satisfacen a (1) y (2) simultáneamente.

Se llama solución factible óptima a toda solución que optimice la función objetivo (3).

2.2      Supuestos teóricos de la programación lineal

La programación lineal puede ser aplicada en una gran variedad de problemas, sin embargo tiene ciertas limitaciones que debilitan su aplicabilidad, entre otros, estos pueden ser:

§  La proporcionalidad

Una primera limitación de la programación lineal es el requerimiento de que  la función objetivo y cada restricción deben ser lineales. Esto requiere que la medida de la efectividad y los recursos utilizados deben ser proporcionales al nivel de cada actividad (variable) conducida individualmente.

Los problemas de programación no lineal carecen de dicha proporcionalidad, aunque en ocasiones es posible resolver estos con P.L., esto se presenta en casos especiales no constituyendo una regularidad.

§  Aditividad

Suponer que la medida de efectividad y cada recurso son usados directamente proporcionales al nivel de cada actividad individualmente, no garantiza suficientemente la linealidad. Es necesario que la actividad sea aditiva con respecto a la medida de efectividad y cada recurso utilizado. En otras palabras la medida total de efectividad y cada recurso total se obtiene de la suma de las efectividades o de  los recursos utilizados individualmente.

§  Divisibilidad

La solución óptima de un problema de P.L. debe tener valores reales de las variables, es decir, que si una variable de decisión debe tener un valor entero, entonces, la P.L. no garantiza esta solución, dado que al aproximar o truncar la solución real para hacerla entera la nueva solución puede no ser la óptima.

§  Determinística

Todos los coeficientes en el modelo de P.L. (a_ij, b_j  y c_i) son asumidos como constantes conocidas. Si el modelo de P.L. servirá para predecir condiciones futuras, los coeficientes utilizados deberán ser calculados sobre la base de predicciones futuras.

En términos generales la P.L. incluye los siguientes aspectos de interés para el estudio:

a) Planteamiento del problema.

b) Solución gráfica (a modelos de 2 variables).

c) Solución analítica.

d) Análisis de post-optimalidad.

2.2.1   Construcción del modelo para un problema de P.L.

Se analiza el paso de la construcción del modelo para un problema de P.L.

§  Planteamiento de problemas

Para construir un modelo  de P.L. deben seguirse los siguientes pasos:

Paso 1: Definición de las variables.

Paso 2: Construcción del sistema de restricciones.

Paso 3: Construcción de la función objetivo.

§  Definición de las variables de decisión

Una variable de decisión es la representación de cada una de las actividades que conforman el problema.

Al definir una variable  de decisión deben tenerse en cuenta dos definiciones.

§  Definición conceptual

Con esta definición se determina la actividad, o variable en el contexto del problema, logrando que esta variable sea independiente. Para ello se deben tener en cuenta los principios de:

a-unicidad de origen;

b- unicidad de destino;      

c- unicidad de estructura tecnológica;

d- unicidad de coeficiente de costo.

Cuando a, b, c y d se refieren a que cada actividad sea única en su origen, su destino, su tecnología y el valor que se le asigne a la función objetivo.

§  Definición dimensional

Esta definición se refiere al aspecto cuantitativo de la actividad, es decir, a la selección de la unidad de medida que se va a representar en el modelo.

§  Construcción del sistema de restricciones

En cuanto al sistema de restricciones y a cada restricción en particular se deben seguir los siguientes pasos:

Paso 1: Determinar la limitación o restricción que presupone dicha restricción, analizando el signo de la misma {<,=,>}, la dimensión física y el valor del término independiente b_i.

Paso 2: Determinar las variables que entran en la restricción.

Paso 3: Determinar el valor particular del coeficiente tecnológico de dicha restricción y en cada variable del problema (j=1,…,n) , esto es, a_ij.

§  Construcción de la función objetivo

La función objetivo es la expresión del propósito u objetivo final que deseamos alcanzar al resolver el problema.

En la función objetivo deben aparecer las variables del problema multiplicadas por su coeficiente de costos C_j, el cual debe estar determinado adecuadamente.

Gracias por su atencion....